Численное решение обратной задачи для уравнения Шредингера и разных порогов парциальных каналов

Цель исследования. Рассматривается проблема постановки и решения обратных задач для систем уравнений шредингеровского типа и связанная с такими задачами (в подходах Гельфанда – Левитана и Марченко) проблема решения систем интегральных уравнений Фредгольма второго рода.

Методы. На основе выполненного анализа представлена постановка обратной задачи теории квантового рассеяния для радиальных уравнений Шредингера, в подходе Марченко, при наличии нескольких связанных каналов с разными порогами (на примере двух каналов, с очевидным обобщением). Приведены конкретные свойства соответствующей S-матрицы рассеяния и асимптотик возможных связанных состояний, необходимые и достаточные для однозначного решения рассматриваемой в работе обратной задачи и ее физической адекватности.

Результаты. Получена квазирациональная аппроксимация элементов S-матрицы (аппроксимация типа Паде) для обратной задачи теории рассеяния для системы двух уравнений шредингеровского типа с разными порогами, обладающая всеми необходимыми и достаточными для возможности решения свойствами в явном виде. Данная аппроксимация позволяет получить решение рассматриваемой обратной задачи (системы связанных уравнений Марченко – интегральных уравнений Фредгольма второго рода), в принципе, в аналитическом виде. Разработан алгоритм численного решения указанной обратной задачи. 

Заключение. Обсуждаются возможные области применения предлагаемого в работе алгоритма и разработанного метода численного решения обратной задачи для уравнений (систем уравнений) шредингеровского типа и других подобных обратных задач. В работе получено аналитическое решение обратной задачи теории рассеяния для системы уравнений шредингеровского типа с разными порогами в случае S-матрицы специального вида. Подобранный специальный вид S-матрицы позволяет аппроксимировать (интерполировать) любые физически адекватные S-матрицы. 

1. Yaman F., Yakhno V.G., Potthast R. A Survey on inverse problems for applied sciences // Mathematical Problems in Engeneering. 2013. Vol. 2013. P. 976837.

2. Review on solving the inverse problem in EEG source analysis / R. Grech, T. Cassar, J. Muscat, K. P. Camilleri, S.G. Fabri, M. Zervakis, P. Xanthopoulos, V. Sakkalis, B. Vanrumste // Journal of NeuroEngineering and Rehabilitation. 2008. Vol. 5. P. 25.

3. Bonnet M., Constantinescu A. Inverse problem in elasticity // Inverse Problems. 2005. Vol. 21. P. R1 – R50.

4. Кочура Е. П., Родионов А. А., Соболев С. В. Взаимодействие ступенчатого импульса с непрерывно-неоднородной электропроводной средой (численный расчет) // Известия Курского государственного технического университета. 2004. № 2. С. 41–43.

5. Kochura E. P., Sobolev S. V. On the process of interaction of delta-like electromagnetic pulse with homogeneous electroconductive half-space // Известия Юго-Западного государственного университета. Серия: Физика и химия. 2012. № 2. С. 104–107.

6. Тейлор Дж. Теория рассеяния. М.: Мир, 1975. 565 c.

7. Agranovich Z. S., Marchenko V. A. The inverse problem of scattering theory. New York: Gordon and Breach, 1963. 290 p.

8. Braun M., Sofianos S. A., Leeb H. Multi-channel inverse scattering problem on the line: thresholds and bound states // Physical Review A. 2003. Vol. 68. P. 012719-1–012719-8.

9. Blazek M. On a method for solving the inverse problem in potential scattering// Communications in Mathematical Physics. 1966. Vol. 3. P. 282–291.

10. Knyr V. A., Neudatchin V. G., Khokhlov N. A. Relativistic optical model on the basis of the Moscow potential and lower phase shifts for nucleon-nucleon scattering at laboratory energies of up to 3 GeV // Physics of Atomic Nuclei. 2006. Vol. 69, No. 12. P. 2034–2044.

11. Khokhlov N. A., Knyr V. A. Reconstruction of the optical potential from scattering data // Physical Review C. 2006. Vol. 73. P. 024004-1–024004-11.

12. Хохлов Н. А. Электродинамика двухнуклонных систем в точечной форме релятивистской квантовой механики: монография. Хабаровск: Изд-во ТОГУ, 2011. 182 с.

13. Chadan K., Sabatier P. C. Inverse problems i quantum scattering theory. New York: Springer, 1989. 325 p.

14. Newton R. G. Scattering theory of waves and particles. New York: Springer, 1982. 627 p.

15. Khokhlov N. A., Studenikina L. I. Energy-independent complex 1S0NN potential from the Marchenko equation // Phys. Rev. C. 2021. Vol. 104. P. 014001.

16. Quantum inversion: theory and applications // Lecture Notes in Physics. Vol. 427; ed. by H. V. von Geramb [et al.]. Berlin: Springer Verlag, 1994. P. 285.

17. One-dimensional inverse scattering problem in acoustics / D. Gerogiannis, S. A. Sofianos, I. E. Lagaris, G. A. Evangelakis // Brazilian Journal of Physics. 2011. Vol. 41. P. 248– 257.

18. A Marchenko equation for acoustic inverse source problems / J. Van Der Neut, J. L. Johnson, K. Van Wijk, S. Singh, E. Slob, K. Wapenaar // The Journal of the Acoustical Society of America. 2017. Vol. 141. P. 4332–4345.

19. Sabatier P. C. Past and future of inverse problems // Journal of Mathematical Physics. 2000. Vol. 41. P. 4082–4101.