techusguИзвестия Юго-Западного государственного университета. Серия: Техника и технологииProceedings of the Southwest State University. Series: Engineering and Technology2223-1528Юго-Западный государственный университет10.21869/2223-1528-2025-15-1-161-176techusgu-321Research ArticleФИЗИКАPHYSICSНелинейные восприимчивости ансамбля дипольных ротаторов в вязкоупругой жидкостиNonlinear susceptibility of an ensemble of dipolar rotators in a viscoelastic fluidРусаковВ. В.RusakovV. V.

Русаков Виктор Владимирович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории динамики дисперсных систем

г. Пермь

Victor V. Rusakov, Candidate of Sciences (Physics and Mathematics), Senior Researcher at the Laboratory of Disperse Systems Dynamics

Perm

vvr@icmm.ruhttps://orcid.org/0000-0002-6167-6528РайхерЮ. Л.RaikherYu. L.

Райхер Юрий Львович, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник лаборатории динамики дисперсных систем

г. Пермь

Yuriy L. Raikher, Doctor of Sciences (Physics and Mathematics), Chief Researcher at the Laboratory of Dynamics of Disperse Systems

Perm

raikher@icmm.ruПермский федеральный исследовательский центр Уральского отделения Российской академии наук; Пермский национальный исследовательский политехнический университетРоссияPerm Federal Research Center of the Ural Branch of Russian Academy of Science; Perm National Research Polytechnic UniversityRussian FederationПермский федеральный исследовательский центр Уральского отделения Российской академии наукРоссияPerm Federal Research Center of the Ural Branch of Russian Academy of ScienceRussian Federation202507042025151161174Copyright © Русаков В.В., Райхер Ю.Л., 20252025Русаков В.В., Райхер Ю.Л.Rusakov V.V., Raikher Y.L.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://techusgu.elpub.ru/jour/article/view/321

Цель. Моделью ферроколлоида служит ансамбль наночастиц, обладающих «вмороженными» дипольными моментами; применительно к феррочастицам это означает их однодоменность и высокую магнитную жёсткость. Рассматриваемые частицы обладают только одной вращательной степенью свободы (ротаторы). Указанное приближение существенно упрощает математическое описание магнитодинамических процессов, но сохраняет полное качественное сходство результатов с теми, что гораздо более сложным путём можно было бы получить для реальной системы, где частицам доступны две вращательные степени свободы. Для описания вязкоупругой среды, в которой взвешены частицы, выбрана реологическая схема Джефриса. Магнитодинамический отклик рассмотрен в рамках кинетического подхода – использовано уравнение типа Фоккера – Планка, описывающее ориентационное движение наночастицы в присутствии тепловых флуктуаций. Для решения задачи кинетическое уравнение преобразовано в систему моментных. Продемонстрировано, что для расчёта статических и динамических восприимчивостей достаточно использовать лишь небольшое число первых уравнений моментной системы.Результаты. Спектры первой и третьей гармоник дипольного отклика (намагниченность) рассчитаны в широком диапазоне материальных параметров и частоты. Для этих же условий найдены спектры второй гармоники и статической компоненты квадрупольного отклика (индуцированной ориентационной анизотропии). Показано, что в системах с высоким уровнем динамической упругости имеется частотный интервал, внутри которого статическая составляющая квадрупольного отклика принимает отрицательные значения.Заключение. Предложен эффективный метод расчётов линейной и нелинейных магнитных восприимчивостей модельного ферроколлоида. Инверсия знака постоянной компоненты квадрупольного отклика (для линейно-вязких жидкостей она отсутствует) является индикатором («подписью») развитой вязкоупругости. 

Purpose. To investigate the magnetic and magneto-orientational responses of a nanodisperse ferrocolloid to an external magnetic field under conditions when the carrier fluid is a viscoelastic medium.Methods. The ferrocolloid is modelled as an ensemble of nanoparticles bearing `frozen-in’ dipolar (magnetic) moments. The considered particles possess only a single rotary degree of freedom (rotators). This approximation facilitates considerably the mathematical description yielding, however, the results which are in full qualitative resemblance with those, which could have been obtained via a very cumbersome way for a real system where the particles possess two rotational degrees of freedom. The viscoelastic medium is described with the aid of the Jeffreys rheological scheme. The theoretical framework for magnetodynamics of the ferrocolloid is based on the Fokker-Planck-type kinetic equation that describes the nanoparticle orientational motion in the presence of thermal fluctuations. Solution of the problem is obtained via transforming the kinetic equation in the set of moment ones. It is demonstrated that to obtain the static and dynamic susceptibilities, it suffices to use just a few first ones of the developed set of moment equations.Results. The spectra of the first and third harmonics of the dipolar response (magnetization) are evaluated in a wide range of material parameters of the system and frequency. The same for the same conditions, the spectra of the second harmonic and static component (orientational anisotropy). It is shown that in the system with a high level of dynamic elasticity there exists a frequency interval within which the static component of quadrupole response becomes negative. Conclusions. An effective method to calculate the linear and nonlinear magnetic susceptibilities of the model ferrocolloid is proposed. The sign inversion of the static component of the quadrupole response – it is identically absent in linearly-viscous fluids – turns out to be an indicator (“signature”) of pronounced viscoelasticity.

вязкоупругая жидкостьброуновское движениестохастические уравнениякинетическое уравнениемикрореологиядипольные ротаторымагнитные частицыviscoelastic fluidBrownian motionstochastic equationskinetic equationmicrorheologydipolar rotatorsmagnetic particlesИнститут механики сплошных сред Уральского отделения Российской академии наукThe work was carried out within the framework of the state-budget financed theme No. AAAA-A20120020690030-5ReferencesWaigh T.A. Advances in the microrheology of complex fluids // Reports on Progress in Physics. 2016. Vol. 79, no. 7. Art. no. 074601. https://doi.org/10.1088/0034-4885/79/7/074601.Waigh T.A. Advances in the microrheology of complex fluids. Reports on Progress in Physics. 2016;79(7):074601. https://doi.org/10.1088/0034-4885/79/7/074601.Microrheology, advances in methods and insights / Q. Xia, H. Xiao, Y. Pan, L. Wang // Advances in Colloid and Interface Science. 2018. Vol. 257. P. 71–85. https://doi.org/10.1016/ j.cis.2018.04.008.Xia Q., Xiao H., Pan Y., Wang L. Microrheology, advances in methods and insights. Advances in Colloid and Interface Science. 2018;257:71–85. https://doi.org/10.1016/j.cis.2018.04.008.Nanorheology and nanoindentation revealed a softening and an increased viscous fluidity of adherent mammalian cells upon increasing the frequency / V.G. Gisbert, F.M. Espinosa, J.G. Sanchez, M.C. Serrano, R. Garcia // Small. 2024. Vol. 20, no. 6. Art. no. е2304884. https://doi.org/10.1002/smll.202304884.Gisbert V.G., Espinosa F.M., Sanchez J.G., Serrano M.C., Garcia R. Nanorheology and nanoindentation revealed a softening and an increased viscous fluidity of adherent mammalian cells upon increasing the frequency. Small. 2024;20(6):2304884. https://doi.org/10.1002/smll.202304884.Magnetic particle nanorheology / E. Roeben, L. Röeder, S. Teusch, M. Effertz, K.D. Ulrich, A.M. Schmidt // Colloid and Polymer Science. 2014. Vol. 292, no. 8. P. 2013–2023. https://doi.org/10.1007/s00396-014-3289-6.Roeben E., Röeder L., Teusch S., Effertz M., Ulrich K.D., Schmidt A.M. Magnetic particle nanorheology. Colloid and Polymer Science. 2014;292(8):2013–2023. https://doi.org/10.1007/s00396-014-3289-6.Challenges and recommendations for magnetic hyperthermia characterization measurements / J. Wells, D. Ortega, U. Steinhoff, S. Dutz, E. Garaio, O. Sandre [et al.] // International Journal of Hyperthermia. 2021. Vol. 38. P. 447–460. https://doi.org/10.1080/02656736.2021.1892837.Wells J., Ortega D., Steinhoff U., Dutz S., Garaio E., Sandre O., et al. Challenges and recommendations for magnetic hyperthermia characterization measurements. International Journal of Hyperthermia. 2021;38:447–460. https://doi.org/10.1080/02656736.2021.1892837.Yoshida T., Enpuku K. Optimization of excitation field depending on magnetic nanoparticle parameters for magnetic hyperthermia under safety constraint // AIP Advances. 2024. Vol. 14. Art. no. 075105. https://doi.org/10.1063.5.0208914.Yoshida T., Enpuku K. Optimization of excitation field depending on magnetic nanoparticle parameters for magnetic hyperthermia under safety constraint. AIP Advances. 2024;14:075105. https://doi.org/10.1063.5.0208914.Ultra-high rate of temperature increment from superparamagnetic nanoparticles for highly efficient hyperthermia // J.-H. Lee, B. Kim, Y. Kim, S.-K. Kim // Scientific Reports. 2021. Vol. 11. Art. no. 4969. https://doi.org/10.1038/s41598-021-84424-1.Lee J.-H., Kim B., Kim Y., Kim S.-K. Ultra-high rate of temperature increment from superparamagnetic nanoparticles for highly efficient hyperthermia. Scientific Reports. 2021;11:4969. https://doi.org/10.1038/s41598-021-84424-1.Zia R.N., Brady J.F. Theoretical microrheology // Complex fluids in biological systems. Biological and medical physics, biomedical engineering / S. Spagnolie (ed.). New York: Springer, 2015. Р. 113-157.Zia R.N., Brady J.F. Theoretical microrheology. In: Spagnolie S. (ed.) Complex fluids in biological systems. Biological and medical physics, biomedical engineering. New York: Springer; 2015. P. 113–157. https://doi.org/10.1007/978-1-4939-2065-5_3.Furst E.M., Squires T.M. Microrheology. Oxford: Oxford University Press, 2017. 451 р.Furst E.M., Squires T.M. Microrheology. Oxford: Oxford University Press; 2017. 451 р.Gardel M., Valentine M., Weitz D. Microrheology // Microscale diagnostic techniques / K.S. Breuer (ed.) Berlin: Springer, 2005. Р. 1–49.Gardel M., Valentine M., Weitz D. Microrheology. In: Breuer K.S. (ed.) Microscale diagnostic techniques. Berlin: Springer; 2005. Р. 1–49.Malkin A.Ya., Isayev A.I. Rheology: concepts, methods, applications. Toronto: ChemTech Publ., 2005. 536 р.Malkin A.Ya., Isayev A.I. Rheology: concepts, methods, applications. Toronto: ChemTech Publ.; 2005. 536 р.Oswald P. Rheophysics: the deformation and flow of matter. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. 640 р.Oswald P. Rheophysics: The deformation and flow of matter. Cambridge: Cambridge University Press; 2009. 640 р.Chaki S., Olsen K.S., Löwen H. Dynamics of a single anisotropic particle under various resetting protocols // Journal of Physics: Condensed Matter. 2025. Vol. 37, no. 11. Art. no. 115101. https://doi.org/10.1088/1361-648X/ada336.Chaki S., Olsen K.S., Löwen H. Dynamics of a single anisotropic particle under various resetting protocols. Journal of Physics: Condensed Matter. 2025;37(11):115101. https://doi.org/10.1088/1361-648X/ada336.Райхер Ю.Л., Русаков В.В. Теория броуновского движения в жидкости Джефриса // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2010. Т. 138, вып. 5. С. 998–1005. http://dx.doi.org/10.1134/S1063776110110191.Reicher Yu.L., Rusakov V.V. Theory of Brownian motion in Jeffries fluid. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2010;111:883-889. http://dx.doi.org/10.1134/S1063776110110191.Rusakov V.V., Raikher Yu.L., Perzynski R. Brownian motion in the fluids with complex rheology // Mathematical Modeling of Natural Phenomena. 2015. Vol. 10. P. 1–43. https://doi.org/10.1051/mmnp/201510401.Rusakov V.V., Raikher Yu.L., Perzynski R. Brownian motion in the fluids with complex rheology. Mathematical Modeling of Natural Phenomena. 2015;10(4):1–43. https://doi.org/10.1051/mmnp/201510401.Русаков В.В., Райхер Ю.Л. Магнитная релаксация в вязкоупругом ферроколлоиде // Коллоидный журнал. 2020. Т. 82, № 2. С. 204–222. https://doi.org/10.31857/S002329122002010X.Rusakov V.V., Reicher Yu.L. Magnetic relaxation in a viscoelastic ferrocolloid. Colloidal Journal. 2020;82(2):161-179. https://doi.org/10.1134/S1061933X20020106.Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Т. 3. Физика квантовых открытых систем. М.: Янус-К, 1995. 508 с.Klimontovich Yu.L. Statistical theory of open systems. Dordrecht: Kluwer Academic Publ.; 1995.Справочник по специальным функциям / М. Абрамовиц, Д. Липман, А. Мак Ниш [и др.]; под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. под ред. В.А. Диткина и Л.Н. Кармазиной. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. 832 с.Abramovitz M., Stegun I.A., eds. Handbook of Mathematical Functions. New York, Dover; 1965. 600 p.Raikher Yu.L., Stepanov V.I. Nonlinear dynamic susceptibilities and field-induced birefringence in magnetic particle assemblies // Advances in Chemical Physics Series. New York: Wiley, 2004. P. 419–588. https://doi.org/10.1002/047168077X.ch4.Raikher Yu.L., Stepanov V.I. Nonlinear dynamic susceptibilities and field-induced birefringence in magnetic particle assemblies. Advances in Chemical Physics Series. New York: Wiley; 2004. P. 419–588. https://doi.org/10.1002/047168077X.ch4.Raikher Yu.L., Shliomis M.I. The effective field method in the orientational kinetics of magnetic fluids and liquid crystals // Advances in chemical physics series: relaxation phenomena in condensed matter / W. Coffey (ed.) Vol. 87. New York: Wiley, 1994. P. 595–751. http://dx.doi.org/ 10.1002/9780470141465.ch8.Raikher Yu.L., Shliomis M.I. The effective field method in the orientational kinetics of magnetic fluids and liquid crystals. In: Coffey W. (ed.) Advances in chemical physics series: relaxation phenomena in condensed matter). Vol. 87. New York: Wiley; 1994. P. 595–751. http://dx.doi.org/10.1002/9780470141465.ch8.Русаков В.В., Райхер Ю.Л. Нелинейный магнитный отклик вязкоупругого ферроколлоида: приближение эффективного поля // Коллоидный журнал. 2021. Т. 83, № 1. С. 86–97. https://doi.org/10.31857/S0023291221010110.Rusakov V.V., Reicher Yu.L. Nonlinear magnetic response of a viscoelastic ferrocolloid: an approximation of the effective field. Colloid Journal. 2021;83(1):116–126. https://doi.org/10.1134/S1061933X21010117.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.